Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间（Ⅱ）若不等式g(x)＜x?mx有解，

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=ex．（I）当a≤0时，求f（x）的单调区间（Ⅱ）若不等式g(x)＜x?mx有解，求实数m的取值菹围；（Ⅲ）证明：当a=0时，|f（x）-g（x）|＞2．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（ax+lnx）′=a+

1

x

，
①当a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；
②当a＜0时，f′（x）=0，得x=-

1

a

，当x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0；当x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，-

1

a

）为单调递增函数；在（-

1

a

，+∞）为单调递减函数；
（II）由题意，不等式g（x）＜

x?m

x

有解，即ex

x

＜x-m有解，
因此只须m＜x-ex

x

，x∈（0，+∞），
设h（x）=x-ex

x

，x∈（0，+∞），h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
因为

x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，且e^x＞1，∴1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，
故h（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．
（III）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），
设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞），
因为m′（x）=e^x-1＞0，m（x）在（0，+∞）上是增函数，m（x）＞m（0）=1，
又设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），
因为n′（x）=

1

x

-1，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴当x=1时，n（x）取得极大值，即n（x）≤n（1）=-1，
故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2．