Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=n?（an+1），求数列{bn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（1）证明：n=1时，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由题意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
两式相减得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1，即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
又a₁+1=2．
∴数列{a_n+1}为首项为2，公比为2的等比数列，
∴a_n+1=2?2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（2）解：由（1）知，b_n=n?2ⁿ，
∴T_n=1?2+2?2²+…+n?2ⁿ①，
2T_n=1?2²+2?2³+…+n?2ⁿ⁺¹②，
①-②，得-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ⁺¹=（1-n）?2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2．