Question

定理：若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根，则有x1+x2=-m，x1x2=n．请用这一定理解决问题：

定理：若x1、x2是关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两实根，则有x1+x2=-m，x1x2=n．请用这一定理解决问题：已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2+2=0的两实根，且（x1+1）（x2+1）=8，求k的值．

Answer 1

由已知定理得：x₁x₂=k²+2，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²+2+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-3=0，
解得：k₁=-3，k₂=1．
又∵△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0．
解得：k≥

1

2

，故k=-3舍去．
∴k的值为1．