Question

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，延长AB交CD于点E，连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F

如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为C，延长AB交CD于点E，连接AC，作∠DAC=∠ACD，作AF⊥ED于点F，交⊙O于点G。（1） 求证：AD是⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径是6cm，EC=8cm，求GF的长。

Answer 1

解：（1）连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， ∴∠OCA+∠ACD=90°， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠0AC+∠CAD=90°， ∴∠OAD=90°， ∴AD是⊙O的切线；
（2） 连接BG， ∵OC=6cm，EC=8cm， ∴在Rt△CEO中，OE= =10， ∴AE=OE+OA=1， ∵AF⊥ED， ∴∠AFE=∠OCE=90°，∠E=∠E， ∴Rt△AEF∽Rt△OEC， ∴ ， 即： ， ∴AF=9.6， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AGB=90°， ∴∠AGB=∠AFE， ∵∠BAG=∠EAF， ∴Rt△ABG ∽Rt△AEF， ∴ ， 即： ， ∴AG=7.2， ∴GF=AF-AG=9.6-7.2=2.4（cm）。