Question

已知函数 f(x)=x+ 2 a 2 x -alnx (a∈R) ．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x

已知函数 f(x)=x+ 2 a 2 x -alnx (a∈R) ．（1）讨论函数y=f（x）的单调区间；（2）设g（x）=x 2 -2bx+4-ln2，当a=1时，若对任意的x 1 ，x 2 ∈[1，e]（e是自然对数的底数），f（x 1 ）≥g（x 2 ），求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）因为f（x）=x+ 2 a 2 x -alnx(x＞0) ，所以 f′(x)=1- 2 a 2 x 2 - a x = x 2 -ax-2 a 2 x 2 = (x+a)(x-2a) x 2 ， ①若a=0，f（x）=x，f（x）在（0，+∞）上单调递减． ②若a＞0，当x∈（0，2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，2a）上单调递减；当x∈（2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（2a，+∞）上单调递增． ③若a＜0，当x∈（0，-a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，-a）上单调递减；当x∈（-a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（-a，+∞）上单调递增． 综上：①当a=0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增． ②当a＞0时，f（x）在（0，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增． ③当a＜0时，f（x）在（0，-a）上单调递减，在（-a，+∞）上单调递增． （2）当a=1时，f（x）=x+ 2 x -lnx(x＞0) ． 由（1）知，若a=1，当x∈（0，2）时，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f（x）单调递增， 所以f（x） min =f（2）=3-ln2． 因为对任意的x 1 ，x 2 ∈[1，e]，都有f（x 1 ）≥g（x 2 ）成立， 所以问题等价于对于任意x∈[1，e]，f（x） min ≥g（x）恒成立， 即3-ln2≥x 2 -2bx+4-ln2对于任意x∈[1，e]恒成立， 即2b ≥x+ 1 x 对于任意x∈[1，e]恒成立， 因为函数y= x+ 1 x 的导数 y′=1- 1 x 2 ≥0 在[1，e]上恒成立， 所以函数y=x+ 1 x 在[1，e]上单调递增，所以 (x+ 1 x ) max =e+ 1 e ， 所以2b ≥e+ 1 e ，所以b ≥ e 2 + 1 2e ， 故实数b的取值范围为[ e 2 + 1 2e ，+∞ ）．