Question

已知△ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a 2 -（b-c） 2 ，且b+c=8．（1）求cosA；（2）求S的最大值

已知△ABC的三边a，b，c和面积S满足S=a 2 -（b-c） 2 ，且b+c=8．（1）求cosA；（2）求S的最大值．

Answer 1

（1）由题意得： S= a 2 - b 2 - c 2 +2bc= 1 2 bcsinA 根据余弦定理得：a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA?a 2 -b 2 -c 2 =-2bccosA 代入上式得： 2bc-2bccosA= 1 2 bcsinA 即   sinA=4-4cosA 代入  sin 2 A+cos 2 A=1得： cosA= 15 17 （2）由（1）得   sinA= 8 17 ∵b+c=8∴c=8-b ∴ S= 1 2 bcsinA= 4 17 bc= 4 17 b(8-b) = 4 17 (- b 2 +8b)≤ 64 17 所以，面积S的最大值为 64 17