Question

已知函数f（x）=2lnx-x2．（1）求函数f（x）在[12，2]的最大值；（2）求证：nk＝12n?ln（1+2-n）＜n+12（

已知函数f（x）=2lnx-x2．（1）求函数f（x）在[12，2]的最大值；（2）求证：nk＝12n?ln（1+2-n）＜n+12（n∈N*）；（3）若关于x的方程f（x）=-x2-2x-2+mex有唯一实数根，求实数m范围．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=2lnx-x²，∴f′(x)＝

2

x

?2x＝

2?2x2

x

，x＞0．
由f′（x）=0，得x=1，或x=-1（舍），
列表讨论：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0
f（x）	↑	极大值	↘

∵f（

1

2

）=2ln

1

2

-

1

4

，f（1）=-1，f（2）=2ln2-4，
∴函数f（x）在[

1

2

，2]的最大值为-1．
（2）由（1）知2lnx-x²＜-1，
∴2lnx＜x²-1，
令x=1+2^-n，2ln（1+2^-n）＜（1+2^-n）²-1=2?2^-n，
∴2ⁿln（1+2^-n）＜1+2^-n-1．

故 n k＝1 2nln(1+2?n)＜n+2?2+2?3…+2?n?1 ＝n+ ( 1 2 )2(1?( 1 2 )n?1) 1? 1 2 ＝n+ 1 2 (1?( 1 2 )n?1) ＜n+ 1 2

（3）∵f（x）=-x²-2x-2+mx，∴2ln^x+2x+2=me^x，
设k（x）=

2lnx+2x+2

ex

＝m，
则k′(x)＝

2 x ?2lnx?2x

ex

=

2( 1 x ?x)?2lnx

ex

，k′（1）=0，
当x∈（0，1）时，

1

x

?x＞0，-2lnx＞0，k′（x）＞0；
当x∈（1，+∞），

1

x

?x＜0，-2lnx＜0，k′ (x)＜0；
∴k（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，
当x→+∞时，k（x）→0；当x→0时，k（x）→-∞．
∴m∈（-∞，