Question

（2014?崇左）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．（1）求证：∠ABC=∠D；（2）求AB

（2014?崇左）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．（1）求证：∠ABC=∠D；（2）求AB的长；（3）延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C与∠D所对应的弧均为

AB

，
∴∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D；

（2）解：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB，
∴△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
即AB²=AE?（AE+ED）=3，
解得：AB=

3

；

（3）答：直线FA与⊙O相切．理由如下：
连接OA，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ABD中，AB=

3

，AD=1+2=3，
根据勾股定理得：BD=2

3

，
∴OB=OA=AB=

3

，
∵BF=OB，
∴AB=FB=OB，即AB=

1

2

OF，
∴∠OAF=90°，
则直线AF与⊙O相切．