Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF．（1）求证：

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF．（1）求证：EF⊥A1C1； （2）求几何体ABFED的体积．

Answer 1

（1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF?平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）解：连接AC交BD于点O，由于ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴AA₁∥BB₁，AA₁=BB₁，BB₁∥CC₁，BB₁=CC₁，AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，
∴四边形AA₁C₁C为平行四边形，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁
由（1）知，A₁C₁⊥平面BB₁D₁D，∴AC⊥平面BB₁D₁D，∴AO⊥平面BB₁D₁D，
由AC=

AB2+BC2

=

a2+a2

=

2

a，
∴AO=

1

2

AC＝

2

2

a，
在直角梯形BDEF中，直角腰BD=AC=

2

a，上底BF=

1

3

BB₁=

1

3

a，下底DE=

1

2

DD₁=

1

2

a，
因此梯形BDEF的面积