Question

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．（1）求证：AC2=AE?AB；（2）延长EC到

如图，已知⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA=EC．（1）求证：AC2=AE?AB；（2）延长EC到点P，连接PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）连接BC，
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径，
∴BC=AC．
∴∠1=∠2．
又∵AE=CE，
∴∠1=∠3．
∴△AEC∽△ACB．
∴

AC

AB

＝

AE

AC

．
即AC²=AB?AE．（4分）
（2）PB与⊙O相切，
连接OB，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB．
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠PEB=∠1+∠3=2∠1．
∵∠PBE=∠2+∠PBC，
∴∠OBC=∠OCB．
∵Rt△BCF中，∠OCB=90°-∠2=90°-∠1，
∴∠OBC=90°-∠1．
∴∠OBP=∠OBC+∠PBC=∠1+（90°-∠1）=90°．
∴PB⊥OB．
即PB为⊙O的切线．（10分）