Question

高中数学求解！ 已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b若实数a.b 使得f(x)=0有实根,则a2+b2的最小值为？

已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b若实数a.b 使得f(x)=0有实根,则a2+b2的最小值为“4/5”求详细过程！

Answer 1

f(x)=(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2且有x+1/x>=2或<=-2
有实根 => 判别式不小于0且小根小于-2或大根大于2 => |a|>=4或{|a|<=4且b<=6}
令x+1/x=k，f(k)=k^2+ak+b-2=0的解为k=-1/2(a±√a^2-4b+8)，则|k|>=2。将此方程作为关于a、b的方程，化简得：±√a^2-4b+8=2k+a => ka+b+k^2-2=0
则a^2+b^2的最小值即为原点到该直线的距离的平方，得d(k)=|k^2-2|/√k^2+1 => d^2(k)=k^2-5+9/(k^2+1) => d^2(k)min=4/5，当|k|=2时。

Answer 2

f(x)=(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2且有x+1/x≥2或≤-2
有实根 => 判别式不小于0且小根小于-2或大根大于2 => |a|≥4或{|a|≤4且b≤6}
令x+1/x=k，f(k)=k²+ak+b-2=0的解为k=-1/2(a±√a²-4b+8)，则|k|≥2。将此方程作为关于a、b的方程，化简得：±√a²-4b+8=2k+a => ka+b+k²-2=0
则a²+b²的最小值即为原点到该直线的距离的平方，得d(k)=|k²-2|/√k²+1 => d²(k)=k²-5+9/(k²+1) => 当|k|=2时， d²(k)min=4/5。