Question

高一必修一数学难题，多谢高手指教!!!!

Answer 1

（1）求f(0)
令x=1 y=0
则f(1*0)=f(1)^0
因为f(x)>0 所以f(1)不等于0
所以f(0)=1

（2）证明f(x) R上单调递减
令x=1 y=x
f(1*x)=f(1)^x
f(x)=f(1)^x
所以此函数是以f(1)为底的指数函数

令x=1/3 y=3
f(1/3*3)=f(1/3)^3
f(1)=f(1/3)^3
因为f(1/3)<1
所以f(1)<1

因此 f(x)=f(1)^x R上单调递减

（3）
令f(1)=t
则f(x)=t^x
f(a)+f(c)>2f(b)
t^a+t^c>2t^b
t^a-t^b>t^b-t^c
t^b*t^(a-b)-t^b>t^b-t^b*t^(c-b)
因为f(x)>0 所以t^b>0
t^(a-b)+t^(b-c)>2
所以证明f(a)+f(c)>2f(b) 只需证明 t^(a-b)+t^(b-c)>2

b^2=ac a,b,c>0
a/b=b/c
f(a/b)=f(b/c)
t^(a-b)=t^(b-c)
t^(a-b)+t^(b-c)=2t^(a-b)
因为a>b>c>0
所以a-b>0
因为f(0)=1 f(x)为减函数，所以f(a-b)<1
所以t^(a-b)+t^(b-c)=2t^(a-b)>2

因此t^(a-b)+t^(b-c)>2 成立
也就是说f(a)+f(c)>2f(b)成立