Question

设f（x）是定义在实数集R上的函数且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg 3 2 ，f（2

设f（x）是定义在实数集R上的函数且满足f（x+2）=f（x+1）-f（x）．已知f（1）=lg 3 2 ，f（2）=lg15．（1）通过计算f（3），f（4），…，由此猜测函数的周期T，并据周期函数的定义给出证明；（2）求f（2009）的值．

Answer 1

解（1）f（1）=lg 3 2 f（2）=lg15 f（3）=f（2）-f（1）=lg15-（lg3-lg2）=lg5+lg2=1    f（4）=f（3）-f（2）=1-lg15       …+3 f（5）=f（4）-f（3）=1-lg15-1=-lg15     …+4 f（6）=f（5）-f（4）=-lg15-（1-lg15）=-1  …+5 f（7）=f（6）-f（5）=-1+lg15=lg 3 2 …+6 猜测：T=6            …+7 证明：f（x+2）=f（x+1）-f（x） f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）=f（x+1）-f（x）-f（x+1）=-f（x） f（x+6）=-f（x+3）=f（x） 所以 f（x）是一个周期为6的函数 （2）因为f（2009）=f（6×334+5）=f（5）=-lg15