Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F 1 ，F 2 在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点 (4，- 10

已知双曲线的中心在原点，焦点F 1 ，F 2 在坐标轴上，一条渐近线方程为y=x，且过点 (4，- 10 ) ，A点坐标为（0，2），则双曲线上距点A距离最短的点的坐标是______．

Answer 1

∵双曲线一条渐近线方程为y=x， ∴双曲线是等轴双曲线，设方程为x 2 -y 2 =λ（λ≠0） ∵点 (4，- 10 ) 在双曲线上， ∴4 2 -（- 10 ） 2 =λ，解得λ=6 因此，双曲线方程为x 2 -y 2 =6， 设点P（m，n）是双曲线上的动点，得 |PA|= m 2 +(n-2) 2 = 2 n 2 -4n+4 当且仅当n=1时，|PA|有最小值 2 ，此时m= ± 7 ∴双曲线上的P坐标是（ ± 7 ，1）时，P距点A的距离最短． 故答案为：（ ± 7 ，1）