Question

设抛物线过定点A（-1，0），且以直线x=1为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与轨迹C

设抛物线过定点A（-1，0），且以直线x=1为准线．（Ⅰ）求抛物线顶点的轨迹C的方程；（Ⅱ）若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x=-12平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y=kx+m，试求m的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线的顶点为G（x，y），则其焦点为F（2x-1，y）由抛物线的定义可知：|AF|=点A到直线x=1的距离为2，
所以，

4x2+y2

=2
所以，抛物线顶点G的轨迹C的方程为x²+

y2

4

=1（x≠1）
（Ⅱ）显然，直线l与坐标轴不可能平行，所以，设直线l的方程为y=-

1

k

x+b，
代入椭圆方程得：(

4k2+1

k2

)x²-

2bx

k

+b²-4=0
由于l与轨迹C交于不同的两点M，N，所以，△=

4b 2

k2

-4（

4k2+1

k2

）（b²-4）＞0，即4k²-k²b²+1＞0（k≠0）（*）
又线段MN恰被直线x=-

1

2

平分，所以，x_M+x_N=

2bk

4k2+1

=2×（-

1

2

）
所以bk=

4k2+1

?2

，代入（*）可解得：-

3

2

＜k＜

3

2

（k≠0）
由于y=kx+m为弦MN的垂直平分线，故可考虑弦MN的中点P（-

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