Question

已知点P（4，a）（a＞0）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，P点到抛物线C的焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C

已知点P（4，a）（a＞0）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，P点到抛物线C的焦点F的距离为5．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）已知圆E：x2+y2=2x，过圆心E作直线l与圆E和抛物线C自上而下依次交于A、B、C、D，如果|AB|+|CD|=2|BC|，求直线l的方程；（Ⅲ）过点Q（4，2）的任一直线（不过P点）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线y=x+4交于点M，记直线PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3，问是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）点P（4，a）（a＞0）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
P点到抛物线C的焦点F的距离为5，
∴4+

p

2

=5，∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）圆E：（x-1）²+y²=1，设l的方程为x=my+1，
联立

y2＝4x x＝my+1

，得y²-4my-4=0，
∴

△＝16m+16＞0 y1+y2＝4m y1?y2＝?4

，
∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，∴|AD|=3|BC|=6，
即

1+m2

|y1?y2|=

(y1+y2)2?4y1y2

=4

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