Question

已知一次函数y1=2x，二次函数y2=mx2-3（m-1）x+2m-1的图象关于y轴对称，y2的顶点为A．（1）求二次函数y2

已知一次函数y1=2x，二次函数y2=mx2-3（m-1）x+2m-1的图象关于y轴对称，y2的顶点为A．（1）求二次函数y2的解析式；（2）将y2左右平移得到y3交y2于P点，过P点作直线l∥x轴交y3于点M，若△PAM为等腰三角形，求P点坐标；（3）是否存在二次函数y4=ax2+bx+c，其图象经过点（-5，2），且对于任意一个实数x，这三个函数所对应的函数值y1、y2、y4都有y1≤y4≤y2成立？若存在，求出函数y4的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

由题意二次函数关于y轴对称，则?

?3(m?1)

2m

＝0
解得：m≠0，则m=1
∴二次函数的解析式为：y₂=x²+1．

（2）二次函数的解析式为：y₂=x²+1．求得点A（0，1）如图
设点p（x，x²+1），则点M（3x，x²+1）
∵△PAM为等腰三角形，
∴从图中可知：Rt△OAM中，AM为斜边，AM＞OM，只有AP=PM，
则AP=PM

x2+x4

＝

4x2

x⁴-3x²=0
x²（x²-3）=0
解得x=0，x=±

3

当x=0时，P（0，1）与点A重合，舍去；
当x=

3

时，P（

3

，4），则y₂向右移动得到；
当x=-

3

时，P（-

3

，4）则y₂向左移动得到．

（3）存在，
由题意知，当x=1时，y₁=y₂=2，即y₁、y₂的图象都经过（1，2）；
∵对应x的同一个值，y₂≥y₄≥y₁成立，
∴y₄=ax²+bx+c的图象必经过（1，2），
又∵y₄=ax²+bx+