Question

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．（1）求函

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（1-x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数h（x）的定义域； （2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由； （3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．

Answer 1

（1）f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x）．
若要上式有意义，则

x+1＞0 1?x＞0

，
即-1＜x＜1．
所以所求定义域为{x|-1＜x＜1}
（2）由于h（x）=f（x）+g（x），
则h（-x）=f（-x）+g（-x）
=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=h（x）．
所以h（x）=f（x）+g（x）是偶函数．
（3）f（x）＞g（x），
即log_a（x+1）＞log_a（1-x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于

x+1＞0 1?x＞0 x+1＜1?x

解得-1＜x＜0．
当a＞1时，原不等式等价于

x+1＞0 1?x＞0 x+1＞1?x

，
解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|-1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．