已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1),且h(x)=f(x)+g(x).(1)求函
已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1),且h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域;(2)判断函数h(x...
已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1),且h(x)=f(x)+g(x).(1)求函数h(x)的定义域; (2)判断函数h(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求不等式f(x)>g(x)的解集.
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(1)f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x).
若要上式有意义,则
,
即-1<x<1.
所以所求定义域为{x|-1<x<1}
(2)由于h(x)=f(x)+g(x),
则h(-x)=f(-x)+g(-x)
=loga(-x+1)+loga(1+x)=h(x).
所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函数.
(3)f(x)>g(x),
即loga(x+1)>loga(1-x).
当0<a<1时,上述不等式等价于
解得-1<x<0.
当a>1时,原不等式等价于
,
解得0<x<1.
综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为{x|-1<x<0};
当a>1时,原不等式的解集为{x|0<x<1}.
若要上式有意义,则
|
即-1<x<1.
所以所求定义域为{x|-1<x<1}
(2)由于h(x)=f(x)+g(x),
则h(-x)=f(-x)+g(-x)
=loga(-x+1)+loga(1+x)=h(x).
所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函数.
(3)f(x)>g(x),
即loga(x+1)>loga(1-x).
当0<a<1时,上述不等式等价于
|
解得-1<x<0.
当a>1时,原不等式等价于
|
解得0<x<1.
综上所述,当0<a<1时,原不等式的解集为{x|-1<x<0};
当a>1时,原不等式的解集为{x|0<x<1}.
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