Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acosC+c-2b=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=1，求△AB

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2acosC+c-2b=0．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer 1

（I）由正弦定理，得
∵2acosC+c-2b=0，∴2sinAcosC+sinC-2sinB=0，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC
∴代入上式，得sinC-2cosAsinC=0，即sinC（1-2cosA）=0
∵C∈（0，π），得sinC＞0，
∴1-2cosA，得cosA=

1

2

．结合A为三角形的内角，可得A=

π

3

；
（2）∵由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得b²+c²-bc=a²=1
∴（b+c）²=1+3bc
∵bc≤

(b+c)2

4

，
∴（b+c）²≤1+

3

4

（b+c）²，可得（b+c）²≤4，得b+c≤2
∵△ABC中，b+c＞a=1，∴b+c∈（1，2]
由此可得：a+b+c∈（2，3]，即△ABC的周长l取值范围为（2，3]．