Question

解方程：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120

解方程：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）=120．

Answer 1

解：∵(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120
==>[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=120
==>(x²+5x+4)(x²+5x+6)=120
==>[(x²+5x)+4][(x²+5x)+6]=120
==>(x²+5x)²+10(x²+5x)+24=120
==>(x²+5x)²+10(x²+5x)-96=0
==>[(x²+5x)-6][(x²+5x)+16]=0
(应用十字相乘法分解因式)
==>(x²+5x-6)(x²+5x+16)=0
==>(x-1)(x+6)(x²+5x+16)=0
(再次应用十字相乘法分解因式)
∴x-1=0，或x+6=0
（x²+5x+16>0）
==>x1=1，x2=-6
故原方程的解是x1=1，x2=-6。

Answer 2

由原方程，得
（x²+5x+4）（x²+5x+6）=120．
设x²+5x=y，则
（y+4）（y+6）=120．即y²+10y-96=0．
所以 （y-6）（y+16）=0．
解得 y=6或y=-16．
当y=6时，x²+5x=6，则
（x+6）（x-1）=0．
解得 x₁=-6，x₂=1；
当y=-16时，x²+5x=-16，即x²+5x+16=0，
该方程无解．
综上所述，原方程的解是：x₁=-6，x₂=1．

Answer 3

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120
[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]=120
(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=120
设y=x^2+5x+5
原方程变形为(y-1)(y+1)=120,y=11
将y=11代入y=x^2+5x+5，
x^2+5x+5=11
x=1或-6