Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），B（0，4），对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，…，那么第⑤个三角形离原点O最远距离的坐标是______，第2012个三角形离原点O最远距离的坐标是______．

Answer 1

∵点A（-3，0），B（0，4），
∴OB=4，OA=3，
∴AB=5，
∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，
∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，
而2012=3×670+2，
∴第⑤个三角形和第2012个三角形都和三角形②的状态一样，
∴2012个三角形离原点O最远距离的点的横坐标为670×12+9=8049，纵坐标为0．
第⑤三角形离原点O最远距离的点的横坐标为12+9=21，纵坐标为0．
故答案为（21，0），（8049，0）．

Answer 2

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由图可知，每3个三角形为一个循环组依次循环，
∵2014÷3=671余1，
∴△2014的直角顶点是第672组的第一个三角形的直角顶点，
与第671组的最后一个三角形的直角顶点重合，
∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得，AB=
OA2+OB2
=
32+42
=5，
∴一个循环组在x轴上的长度为3+4+5=12，
∵12×671=8052，
∴△2014的直角顶点的坐标为（8O52，0）．
故答案为：（8O52，0）．。