Question

已知函数f（x）=sinx，将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数g（x

已知函数f（x）=sinx，将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则关于f（x）g（x）有下列命题，其中真命题的个数是（　　）①函数y=f（x）?g（x）是偶函数； ②函数y=f（x）?g（x）是周期函数；③函数y=f（x）?g（x）的图象关于点（π2，0）中心对称；④函数y=f（x）?g（x）的最大值为439．A．1B．2C．3D．4

Answer 1

根据题意，∵f（x）=sinx，∴g（x）=sin2x，∴y=f（x）?g（x）=sinx?sin2x；
对于①，∵f（-x）?g（-x）=sin（-x）?sin2（-x）=（-sinx）?（-sin2x）=sinxsin2x=f（x）?g（x），
∴y=f（x）?g（x）是偶函数，①正确；
对于②，∵f（2π+x）?g（2π+x）=sin（2π+x）?sin（4π+2x）=sinx?sin2x=f（x）?g（x），
∴y=f（x）?g（x）是周期函数，②正确；
对于③，∵f（

π

2

+x）?g（

π

2

+x）=sin（

π

2

+x）sin（π+2x）=cosxsin2x
f（

π

2

-x）?g（

π

2

-x）=sin（

π

2

-x）sin（π-2x）=-cosxsin2x
∴f（

π

2

+x）?g（

π

2

+x）=-f（

π

2

-x）?g（

π

2

-x）
∴y=f（x）?g（x）的图象关于点（

π

2

，0）中心对称，③正确；
对于④，y=f（x）?g（x）=sinxsin2x=2sin²xcosx=2（1-cos²x）cosx，
设t=cosx，t∈[-1，1]，
∴y=2t-2t³，求导得y′=2-6t²；
∴当t∈[-1，-

3

3

）时，y′＜0，函数y是减函数，
当t∈（-

3

3

，

3

3

）时，y′＞0，函数y是增函数，
当t∈（

3

3

，1]时，y′＜0，函数y是减函数；
∴当t=

3

3

时，y取得最大值是y_max=2×

3

3

-2×(

3

3

)3=

4 3

9

，④正确；
综上，正确的命题是①②③④，4个．
故选：D．