Question

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h，经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k=6.0×106）．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注：kg表示千克，km/h表示千米/小时）

Answer 1

由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度v₀=700km/h=

700

3.6

m/s．从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x（t），速度为v（t）．
则飞机受到阻力

f

＝?k

v

，在阻力作用下，飞机以初始速度v₀减速运动，最后静止．
方法一：
根据牛顿第二定律，得m

dv

dt

＝?kv．
又   

dv

dt

＝

dv

dx

?

dx

dt

＝v

dv

dx

，
由以上两式得dx＝?

m

k

dv，
积分得 x(t)＝?

m

k

v+C，C为任意常数．
由于v（0）=v₀，x（0）=0，故得C＝

m

k

v0，从而x(t)＝

m

k

(v0?v(t))．
当v（t）→0时，x(t)→

mv0

k

＝

9000×700

6.0×106×3.6

＝0.292(km)=292m．
所以，飞机滑行的最长距离为292m．
方法二：
根据牛顿第二定律，得 m

dv

dt

＝?kv，
所以    

dv

v

＝?

k

m

dt．
两端积分得通解v＝Ce?

k

m

t，代入初始条件v|_t=0=v₀解得C=v₀，
故   v(t)＝v0e?

k

m

t．
①因此，t→∞时飞机滑行才停止，即距离最大．
所以，飞机滑行的最长距离为x＝

∫

+∞ 0

v(t)dt＝?

mv0

k

e?

k

m

t|

+∞ 0

＝

mv0

k

＝292(m)．
②或由

dx

dt

＝v0e?

k

m

t，知x(t)＝

∫

t 0

v0e?

k

m

tdt＝?

mv0

k

(e?

k

m

t?1)，故最长距离为当t→∞时，x(t)→

mv0

k

＝292(m)．
方法三：
根据牛顿第二定律，得 m

d2x

dt2

＝?k

dx

dt

，

d2x

dt2

+

k

m

dx

dt

＝0，
其特征方程为 λ2+

k

m

λ＝0，解之得λ1＝0，λ2＝?

k

m

，
故   x＝C1+C2e?

k

m

t．
由 x| t＝0＝0，v| t＝0＝

dx

dt

|

t＝0

＝?

kC2

m

e?

k

m

t| t＝0＝v0，
得   C1＝?C2＝

mv0

k

，于是 x(t)＝

mv0

k

(1?e?

k

m

t)．
当t→+∞时，x(t)→

mv0

k

＝292(m)．
所以，飞机滑行的最长距离为292m．