Question

已知数列{an}满足：an+1＝2an+2n+2，a1＝2，（1）求证数列{an2n}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项的和

已知数列{an}满足：an+1＝2an+2n+2，a1＝2，（1）求证数列{an2n}为等差数列；（2）求数列{an}的前n项的和Sn；（3）令1bn?1＝an2n，Tn为数列{bn}的前n项的积，求证：Tn＞2n+1．

Answer 1

（1）an+1＝2an+2n+2?

an+1

2n+1

＝

an

2n

+2，
∴{

an

2n

}是公差为2，首项为

a1

2

＝1的等差数列
（2）由（1）知：

an

2n

＝2n?1，信宏∴an＝(2n?1)?2n，
故Sn＝1×2+3×22+5×23+…+(2n?1)×2n①
①×2得：2Sn＝1×22+3×23+5×24+…+(2n?1)×2n+1②
②-①得：Sn＝?2?23?24?…?2n+1+(2n?1)?2n+1
∴Sn＝岩桥6+(2n?3)?2n+1
（3）∵粗坦猛

1

bn?1

＝

an

2n

＝2n?1
∴bn＝

2n

2n?1

∵（2n）²＞（2n）²-1=（2n+1）（2n-1）
∴

2n

2n?1

＞

2n+1

2n

∴(

2n

2n?1

)2＞

2n

2n?1

?

2n+1

2n

＝

2n+1

2n?1

∴bn＝

2n

2n?1

＞

2n+1 2n?1

，
∴Tn＝b1b1?…?bn＞

3 1 ? 5 3 ? 7 5 ?…? 2n+1 2n?1

＝

2n+1

．