Question

除法计算时有余数时还能利用商的不变化规律吗？若能，怎样来说明余数？怎样写竖式与横式计算？

Answer 1

如果商的变化规律是指 ”被除数扩大(缩小)几倍，除数不变，则商扩大(缩小)相同陪数；除数扩大(缩小)几倍，被除数不变，则商缩小(扩大)相同陪数” 那么对带余除法是不适用的。

设被除数为 a，除数为 b(不为0)，商为 q，余数为 r，则带余除法是指它们有如下关系（可以证明 q r 是被 a b 唯一确定的）：
a = bq +r (0 < r < b)
（有些书按 r 与 a 同号处理。我这里暂时按所涉及的几个数皆为正整数讨论，若有负数，只需稍做修正）

这时，a 变化 x 倍，若按商的规律，则有：
xa = b(xq) + xr
这个等式成立，但不能保持 xr < b 成立。
但在 x < b/r 的条件下，原规律依然成立。

对除数的变化类似，若 b 变化 x 倍，则有：
a = xb (q/x) + r
成立。但同样不能保持 r < xb。
在 x > r/b 的条件下，原规律成立。