Question

高中数学圆锥曲线题

关于x的方程x^3 +ax^2 +bx +c =0 的三个实根可作为一个椭圆，一条双曲线和一条抛物线
的离心率，则（b-1）/ (a+1) 的取值范围是-

Answer 1

我感觉答案应该是对的，最后求t的范围的时候，实际上用了二元函数的思想，但方法还是高中的，不知道你好不好理解，如果答案不对，你提出来，我再仔细检查检查

令三个实根分别为e1，e2，e3
由于三个实根可以作为三个曲线的离心率
因此三个根，一个大于1，一个等于1，一个在0和1之间
不妨设e1>1,0<e2<1,e3=1
那么由于e1，e2，e3是原方程的三个根
因此原方程一定可以写成
(x-e1)(x-e2)(x-e3)=0
展开得：
x^3-(e1+e2+1)x^2+(e1e2+e1+e2)x-e1e2=0
跟原方程系数进行比较，就能得到
a=-(e1+e2+1)
b=e1*e2+e1+e2
所以
（b-1）/ (a+1)
=（e1*e2+e1+e2-1）/-(e1+e2）
=-1-(e1*e2-1)/(e1+e2)
对(e1*e2-1)/(e1+e2)进行分析
令t=(e1*e2-1)/(e1+e2)
当e2是常量的时候，t对e1的导数为
t'=(e2)^2+1/(e1+e2)^2
显然是大于0的
因此t随着e1的不断增大而增大
当e1趋于无穷大时，t=e2<1
同理当把e1看做常量的时候，t对e2的导数为
t'=(e1)^2+1/(e1+e2)^2
也是大于0的，一直递增
所以t的最小值，就是e1和e2都取最小值的情况
∴ t>(0*1-1)/(0+1)=-1
所以-1<t<1，-1<-t<1
那么（b-1）/ (a+1) =-1-t=-1+(-t)
所以（b-1）/ (a+1)范围是(-2,0)