Question

如图，△OAB是边长为 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB

如图，△OAB是边长为 的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF。
（1）当A′E//x轴时，求点A′和E的坐标；（2）当A′E//x轴，且抛物线 经过点A′和E时，求抛物线与x轴的交点的坐标；（3）当点A′在OB上运动，但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形？若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由。

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Answer 1

解：（1）由已知可得∠A，OE=60°，A′E=AE， 由A′E//轴，得△OA′E是直角三角形， 设A′的坐标为（0，b） AE=A′E= ，OE=2b， +2b=2+ 所以b=1，A′，E的坐标分别是（0，1）与（ ，1）； （2） 因为A′、E在抛物线上，所以 ，所以 ， 函数关系式为 ， 由 得 ， 与x轴的两个交点坐标分别是（- ，0）与（2 ，0）； （3） 不可能使△A′EF成为直角三角形。 ∵∠FA′E=∠FAE=60°，若△A′EF成为直角三角形，只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°， 若∠A′EF=90°，利用对称性，则∠AEF=90°，A′、E、A三点共线，O与A重合，与已知矛盾； 同理若∠A′FE=90°也不可能所以不能使△A′EF成为直角三角形。