如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC
如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA...
如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=2,OC=1,矩形对角线AC、OB相交于E,过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H.(1)①直接写出点E的坐标:(1,12)(1,12).②求证:AG=CH.(2)如图2,以O为圆心,OC为半径的圆弧交OA与D,若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F,求直线GH的函数关系式.(3)在(2)的结论下,梯形ABHG的内部有一点P,当⊙P与HG、GA、AB都相切时,求⊙P的半径.
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(1)①解:E的坐标是:(1,
),
故答案为:(1,
);
②证明:∵矩形OABC,
∴CE=AE,BC∥OA,
∴∠HCE=∠EAG,
∵在△CHE和△AGE中
,
∴△CHE≌△AGE,
∴AG=CH.
(2)解:如图2,连接DE并延长DE交CB于M,连接AC,
∵DO=OC=1=
OA,
∴D是OA的中点,
∵BC∥OA,
∴∠MCE=∠DAE,
∵在△CME和△ADE中
,
∴△CME≌△ADE,
∴CM=AD=2-1=1,
∵BC∥OA,∠COD=90°,
∴四边形CMDO是矩形,
∴MD⊥OD,MD⊥CB,
∴MD切⊙O于D,
∵HG切⊙O于F,E(1,
),
∴可设CH=HF=x,FE=ED=
MD,
在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2,
即(1-x)2+(
)2=(
+x)2,
解得x=
,
∴H(
,1),OG=2-
=
,
∴G(
,0),
设直线GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐标代入得:
k+b=0,且1=
k+b,
解得:k=-
,b=
,
∴直线GH的函数关系式为y=-
x+
.
(3)解:如备用图3,连接BG,过P做PN⊥GA,垂足为N,
∵在△OCH和△BAG中
,
∴△OCH≌△BAG,
∴∠CHO=∠AGB,
∵∠HCO=90°,
∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,
∴OH平分∠CHF,
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA,
∵四边形OCBA是矩形,
∴BC∥OA,BC=OA,
∵CH=AG(已证),
∴BH=OG,BH∥OG,
∴四边形BHOG是平行四边形,
∴OH∥BG,
∴∠OHE=∠BGE,
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA
∴∠BGA=∠BGE,
即BG平分∠FGA,
∵⊙P与HG、GA、AB都相切,
∴和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上,即在GB上
∴圆心P必在BG上,
∴△GPN∽△GBA,
∴
=
,
设半径为r,
=
,
解得:r=
.
答:⊙P的半径是
.
1 |
2 |
故答案为:(1,
1 |
2 |
②证明:∵矩形OABC,
∴CE=AE,BC∥OA,
∴∠HCE=∠EAG,
∵在△CHE和△AGE中
|
∴△CHE≌△AGE,
∴AG=CH.
(2)解:如图2,连接DE并延长DE交CB于M,连接AC,
∵DO=OC=1=
1 |
2 |
∴D是OA的中点,
∵BC∥OA,
∴∠MCE=∠DAE,
∵在△CME和△ADE中
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∴△CME≌△ADE,
∴CM=AD=2-1=1,
∵BC∥OA,∠COD=90°,
∴四边形CMDO是矩形,
∴MD⊥OD,MD⊥CB,
∴MD切⊙O于D,
∵HG切⊙O于F,E(1,
1 |
2 |
∴可设CH=HF=x,FE=ED=
1 |
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在Rt△MHE中,有MH2+ME2=HE2,
即(1-x)2+(
1 |
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1 |
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解得x=
1 |
3 |
∴H(
1 |
3 |
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5 |
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∴G(
5 |
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设直线GH的解析式是:y=kx+b,
把G、H的坐标代入得:
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3 |
1 |
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解得:k=-
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∴直线GH的函数关系式为y=-
3 |
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5 |
4 |
(3)解:如备用图3,连接BG,过P做PN⊥GA,垂足为N,
∵在△OCH和△BAG中
|
∴△OCH≌△BAG,
∴∠CHO=∠AGB,
∵∠HCO=90°,
∴HC切⊙O于C,HG切⊙O于F,
∴OH平分∠CHF,
∴∠CHO=∠FHO=∠BGA,
∵四边形OCBA是矩形,
∴BC∥OA,BC=OA,
∵CH=AG(已证),
∴BH=OG,BH∥OG,
∴四边形BHOG是平行四边形,
∴OH∥BG,
∴∠OHE=∠BGE,
∵∠CHO=∠FHO=∠BGA
∴∠BGA=∠BGE,
即BG平分∠FGA,
∵⊙P与HG、GA、AB都相切,
∴和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上,即在GB上
∴圆心P必在BG上,
∴△GPN∽△GBA,
∴
PN |
BA |
GN |
GA |
设半径为r,
r |
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解得:r=
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答:⊙P的半径是
1 |
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