Question

如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是⊙O的两条切线，D为切点，AC与⊙O交于点E，连接BE．（1）求证：△BEC∽△A

如图，AB是⊙O的直径，CB、CD是⊙O的两条切线，D为切点，AC与⊙O交于点E，连接BE．（1）求证：△BEC∽△ABC；（2）若CE=4，AE=5，求切线CD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，∵AB是⊙O的直径，CB是⊙O的切线，
∴∠AEB=90°，∠ABC=90°，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∴∠BEC=∠ABC，
又∵∠BCE=∠ACN，
∴△BEC∽△ABC；

（2）解：∵AC=CE+AE=4+5=9，
∵△BEC∽△ABC，
∴

CB

AC

=

CE

CB

，
∴CB²=CE?AC=4×9=36，
∴CB=6，
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴CD=CB=6．