Question

如图1，在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF=α，AB=AC，AE=AF，点D是BC的中点，点M是EF的中点，连接CE，点N是

如图1，在△ABC和△AEF中，∠BAC=∠EAF=α，AB=AC，AE=AF，点D是BC的中点，点M是EF的中点，连接CE，点N是CE的中点，连接DN，MN．（1）如图2，将△AEF绕点A旋转，使点E，F分别在边BA，CA的延长线上．①试探究线段DN与MN的数量关系，并证明你的结论；②此时，∠DNM与α之间存在等量关系，这个等量关系为______（不必说明理由）．（2）将△AEF绕点A旋转，使点E落在△ABC内部，如图3，此时，你在（1）中得到的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）①MN=DN．
理由：∵点D是BC的中点，N是CE的中点，
∴DN是△BEC的中位线．∴DN=

1

2

BE．
∵M是EF的中点，∴MN是△EFC的中位线．
∴MN=

1

2

FC．
∵AB=AC，AE=AF，∴AB+AE=AC+AF，
∵点E，F分别在BA，CA的反向延长线上，∴BE=FC．
∴DN=MN．
②∵DN是△BEC的中位线，MN是△EFC的中位线，
∴MN∥FC，DN∥BE，
∴∠MND+∠3=180°，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴∠1+∠MND=180°，
∴∠MND=180°-α．
故答案为：∠MND=180°-α；

（2）解：①和②均仍然成立．
连接BE，CF．
∵D是BC中点，N是EC中点，∴DN是△BEC的中位线．
∴DN=

1

2

BE，DN∥BE．
同理，MN=

1

2

CF，MN∥CF．
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，

AB＝AC ∠BAE＝∠CAF AE＝AF

，
∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE=CF，
∴DN=MN．即①仍然成立．
∵DN∥BE，∴∠NDC=∠EBC．
∵∠END=∠NDC+∠NCD
∴∠END=∠EBC+∠ECB．
∵MN∥CF，∴∠ENM=∠ECF．
即∠ENM=∠ECA+∠ACF=∠ABE+∠ACE．
∠DNM=∠EBC+∠ECB+∠ABE+∠ACE=∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC．
∴∠DNM=180°-α．