Question

如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．（1）若点E在图1

如图，已知正方形ABCD，AC、BD相交于点O，E为AC上一点，AH⊥EB交EB于点H，AH交BD于点F．（1）若点E在图1的位置，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论；（2）若点E在AC的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE与OF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）OE=OF．理由如下：
在正方形ABCD中，
∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠OBE+∠BEO=90°，
∵AH⊥EB，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠AEH=90°，
∴∠OBE=∠OAF，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF＝∠BOE AO＝BO ∠OAF＝∠OBE

，
∴△AOF≌△BOE（ASA），
∴OE=OF．

（2）OE=OF仍然成立．
理由：如图，在正方形ABCD中，∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°，
∴∠FAO+∠F=90°，
∵AH⊥EB，∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠E=90°，
∴∠E=∠F，
在△AOF和△BOE中，

∠AOF＝∠BOE  ∠E＝∠F  AO＝BO

，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF．
所以结论仍然成立．