Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，E，F分别是BC，PC的中点，FD⊥面ABCD且FD=

如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，E，F分别是BC，PC的中点，FD⊥面ABCD且FD=1．（1）证明：PA=PD；（2）证明：AD⊥PB；（3）求AP与面DEF所成角的正弦值；（4）求二面角P-AD-B的余弦值．

Answer 1

解：∵ABCD是菱形且∠DAB=60°，E为BC中点，
∴AD⊥DE且DE＝

3

，
又∵DF⊥面ABCD，
∴DA，DE，DF两两垂直，
以D为原点建立如图直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），B(1，

3

，0)，C(?1，

3

，0)，F（0，0，1）；
∵F为PC中点，∴P(1，?

3

，2)
（1）∴PA＝

(1?2)2+(? 3 )2+22

＝2

2

，PD＝

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