Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）经过点M(1，32)，其离心率为12．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C相交于A、B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，O为坐标原点．求O到直线距离的l最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，e2＝

a2?b2

a2

＝

1

4

，
所以3a²=4b²，①（1分）
又点M(1，

3

2

)在椭圆C上，
所以

1

a2

+

9

4b2

＝1，②
由①②解之，得a²=4，b²=3．
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（Ⅱ）当直线l有斜率时，设y=kx+m时，
则由

y＝kx+m x2 4 + y2 3 ＝1.

消去y得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（3+4k²-m²）＞0，③
设A、B、P点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₀，y₀），
则：x0＝x1+x2＝?

8km

3+4k2

，y0＝y1+y2＝k(x1+x2)+2m＝

6m

3+4k2

，
由于点P在椭圆C上，所以

x 2 0

4

+

y 2 0

3

＝1．
从而

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