Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1 （a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1，x2．那么：（1）若x1＜2＜x2＜

已知二次函数f（x）=ax2+bx+1 （a＞0），设方程f（x）=x的两个实数根为x1，x2．那么：（1）若x1＜2＜x2＜4，f（x）的对称轴为x=x0，求证：x0＞-1；（2）若|x1|＜2，|x2-x1|=2，求b的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设g（x）=f（x）-x，则
g（x）=ax²+（b-1）x+1，
∴

x1+x2＝? b?1 a x1?x2＝ 1 a ＞0

，
∵x₁＜2＜x₂＜4，
∴（x₁-2）（x₂-2）＜0，即x₁x₂＜2（x₁+x₂）-4；
∴x₀=-

b

2a

=

1

2

(?

b?1

a

?

1

a

)
=

1

2

(x1+x2)?

1

2

x₁x₂＞

1

2

(x1+x2)-（x₁+x₂）+2，
即

1

2

(x1+x2)+2＞?

1

2

×（2+4）+2，
∴x₀＞-1；

（2）解：由方程g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，可知
x₁?x₂=

1

a

＞0，
∴x₁?x₂同号；
若0＜x₁＜2，则x₂-x₁=2，
∴x₂=x₁+2＞2g（2）=4a+2b-1＜0              ①
又∵|x₁-x₂|²
=（x₁+x₂）²-4x₁x₂
=

(b?1)2

a2

?

4

a

=2，
∴2a+1=

(b?1)2+1

，将其代入①，得
2