Question

如图所示，一竖直面内的轨道由粗糙斜面AB和半径为R的光滑圆轨道 BCD组成，AB与BCD相切于B点，C为圆轨道的

如图所示，一竖直面内的轨道由粗糙斜面AB和半径为R的光滑圆轨道 BCD组成，AB与BCD相切于B点，C为圆轨道的最低点，圆弧BC所对应的圆心角θ=60°．现有一质量为m的物块（可视为质点）从轨道 ABC上离地面某一高度h（大小可变）处由静止下滑，已知物块与斜面间的动摩擦因数为μ=32，重力加速度用g表示，求：（1）当h=32R时，物块滑到C点时对轨道的压力FN；（2）当h为多少时，物块恰能滑到圆轨道的最高点D；（3）在满足（2）问的条件下，物块将从D点离开圆轨道，则物块即将与轨道首次相碰时的动能为多大？

Answer 1

（1）对AB过程由动能定理可知
mgh-μmgcosθ×

h?R(1?cosθ)

sinθ

=

1

2

mv²；
由向心力公式可知：
F-mg=m

v2

R

联立解得：
F=3mg；
由牛顿第三定律可知，物体滑到C点时对轨道的压力为3mg；
（2）要使物块恰好滑到最高点，则有：
mg=m

v 2 1

R

由动能定理可知，mgh′-mg2R-μmgcosθ×

h?R(1?cosθ)

sinθ

=

1

2

mv₁²
联立解得：
h=

9

2

R；
（3）物块离开后做平抛运动，v₀=

gR

，物体脱离D点作平抛运动，则有y=

1

2

gt²，假设物体能掉在圆弧上，则令y=

1

2

gt²=

3

2

，
此时x=v_Dt=

3

R＞Rsinθ，假设不成立；
所以物体一定掉在斜面上；
由几何关系可知D点到斜面等高点的距离为

3

R，则有：

y

3 R?x

=tanθ=

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