Question

什么是矩阵的特征值？

Answer 1

如何理解矩阵，特征值和特征向量？
答：线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换），从而得出矩阵是线性空间里的变换的描述。而使某个对象发生对应运动（变换）的方法，就是用代表那个运动（变换）的矩阵，乘以代表那个对象的向量。转换为数学语言： 是矩阵， 是向量， 相当于将 作线性变换从而得到 ，从而使得矩阵 （由n个向量组成）在对象或者说向量 上的变换就由简单的实数 来刻画，由此称 为矩阵A的特征值，而 称为 对应的特征向量。
总结来说，特征值和特征向量的出现实际上将复杂的矩阵由实数和低维的向量来形象的描述（代表），实现了降维的目的。在几何空间上还可以这样理解：矩阵A是向量的集合，而 则是向量的方向， 可以理解为矩阵A在 方向上作投影，而矩阵又是线性空间变换的描述，所以变换后方向保持不变，仅是各个方向投影后有个缩放比例 。

Answer 2

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值
Ax=mx，等价于求m，使得(mE-A)x=0，其中E是单位矩阵，0为零矩阵。
|mE-A|=0，求得的m值即为A的特征值。|mE-A| 是一个n次多项式，它的全部根就是n阶方阵A的全部特征值，这些根有可能相重复，也有可能是复数。
如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn
同时矩阵A的迹是特征值之和：tr（A）=m1+m2+m3+…+mn[1]
如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以通过解方程g(m)=0求得。

追问

第4题

第3题和

追答

为什么不看书呢 ？

追问

好吧～～

追答

我可以帮你做 考试地时候呢 这都是比较经典的 题型 老师 会交你们简便方法 相信你可以的

追问

谢了

我们老师可能不会讲，他发了8套以前的试卷让我们看看，有答案，但没解析

追答

你可以请教你的同学 然后再自己练练 这都是为了你考试能考好的 多学习多和同学交流 在不行问问 老师 熟能生巧 你一定要明白原理是什么 这样才有效果 不然下次在出现类似的题目 你依然不会做 不是每次都会有人帮助你的

追问

谢了，我问了，我们宿舍的，都不能，我们的线性代数都不好，高数都还可以，你告诉一下第3题应该怎么做，可以不说结果，谢了

是都不会

谢了，我问了，我们宿舍的，都不会，我们的线性代数都不好，高数都还可以，你告诉一下第3题应该怎么做，可以不说结果，谢了

追答

你用第一列 第二列 第三列 分别减去第四列 得出的式子 用最后一行 分别加上第一行 第二行 第三方 最后得出最后式子

追问

不好意思发错了，是第4题

明天也可，谢了

追答

设A的正交化矩阵是X，X'表示X的逆，则X'AX=d(-1，2，5)，3(X'AX)=X‘3AX=d(-3,6,15)，(X'AX)^2=X'A^2X=d(1，4，25)，
X'BX=X'3AX-X'A^2X=d(-4，2，-10)
所以|B|=|X'||B||X|

Answer 3

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是矩阵A的一个特征值或本征值。

式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

扩展资料

矩阵特征值

性质1：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质2：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。

Answer 4

定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式
AX=λX (1)
成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，
( A-λE)X=0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
| A-λE|=0 , (3)

Answer 5

矩阵特征值是线性代数重要内容。