如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边A...
如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（0，4），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD。 （1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（ ，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于 ，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
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| 解：（1）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，作BF⊥x 轴于点F 由已知得BF=OE=2，OF=  ∴点B的坐标是（  ，2）设直线AB的解析式是y=kx+b， 则有  解得  ∴直线AB的解析式是y=  x+4。（2）如图，∵△ABD由△AOP旋转得到， ∴△ABD≌△AOP， ∴AP=AD，∠DAB=∠PAO， ∴∠DAP=∠BAO=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴DP=AP=  如图，过点D作DH⊥x 轴于点H，延长EB交DH于点G，则BG⊥DH 在Rt△BDG中，∠BGD=90°，∠DBG=60° ∴BG=BD·cos60°=  DG=BD·sin60°=  ∴OH=EG=  ，DH= ∴点D的坐标为（  ， ）。 |  |
（3）假设存在点P，在它的运动过程中，使△OPD的面积等于 设点P为（t，0），下面分三种情况讨论： ①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=  t， ∴DH=2+  t∵△OPD的面积等于  ， ∴  ，解得  ， （ 舍去） ∴点P 1 的坐标为 （  ，0 ）。 |  |
②当 ＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=- t， ∴DH=GF=2-（  -t）=2+ t∵△OPD的面积等于  ， ∴  ，解得  ， ∴点P 2 的坐标为（  ，0），点P 3 的坐标为（ ，0）。 |  |
③当t≤ 时，如图，BD=OP=-t，DG=- t， ∴DH=-  t-2∵△OPD的面积等于  ， ∴  ，解得  （舍去）， ， ∴点P 4 的坐标为（  ，0） 综上所述，点P的坐标分别为P 1 
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