Question

过椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点F且倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，若FA=2BF，则该椭圆的离心率为______

过椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点F且倾斜角为45°的直线交椭圆于A、B两点，若FA=2BF，则该椭圆的离心率为______．

Answer 1

解：如图，设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG=45°，所以AB=

2

AG，…①
由圆锥曲线统一定义，∵FA=2FB，
∴AC=2BD
直角梯形ABDC中，AG=AC-BD=

1

2

AC…②
①、②比较，可得AC=

2

AB，
又∵AF=

2

3

AB，
∴e=

AF

AC

=

2

3

．
故答案为：

2

3

．