Question

已知函数f（x）=（x+a）ex，其中A为常数．（Ⅰ）若函数f（x）是区间[-3，-∞）上的增函数，求实数a的取值

已知函数f（x）=（x+a）ex，其中A为常数．（Ⅰ）若函数f（x）是区间[-3，-∞）上的增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若f（x）≥e2在x∈[0，2]时恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）因为f（x）=（x+a）e^x，
所以f′（x）=（x+a+1）e^x，-------------------------------（2分）
因为函数f（x）是区间[-3，+∞）上的增函数，
所以f′（x）≥0，即x+a+1≥0在[-3，+∞）上恒成立．------------------------------（3分）
因为y=x+a+1是增函数，
所以满足题意只需-3+a+1≥0，即a≥2．-------------------------------（5分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，解得x=-a-1-------------------------------（6分）
f（x），f′（x）的情况如下：

x	（-∞，-a-1）	-a-1	（-a-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

--------------------------------------（10分）
①当-a-1≤0，即a≥-1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（0），
若满足题意只需f（0）≥e²，解得a≥e²；--------------------------------------（11分）
②当0＜-a-1＜2，即-3＜a＜-1时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（-a-1），
若满足题意只需f（-a-1））≥e²，求解可得此不等式无解，
所以a不存在；------------------------（12分）
③当-a-1≥2，即a≤-3时，f（x）在[0，2]上的最小值为f（2），
若满足题意只需需f（2）≥e²，解得a≥-1，
所以此时，a不存在．------------------------------（13分）
综上讨论，所求实数a的取值范围为[e²，+∞）．