Question

已知函数f（x）=asinxcosx+4cos2x，x∈R，f(π6)＝6．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的最小正周期

已知函数f（x）=asinxcosx+4cos2x，x∈R，f(π6)＝6．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的最小正周期和最大值．（3）此函数如何由y=sinx变换得到？

Answer 1

（1）函数f（x）=asinxcosx+4cos²x，x∈R，f(

π

6

)＝6．
所以6=asin

π

6

cos

π

6

+4cos²

π

6

，6=

3

4

a+4×(

3

2

)2，
解得a=4

3

；    
（2）由（1）可知，f（x）=4

3

sinxcosx+4cos²x=2

3

sin2x+2cos2x+2=4sin（2x+

π

6

）+2
所以函数的周期为：T=

2π

2

=π，
因为x∈R，所以函数的最大值为：M=6．
（3）函数y=sinx向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

），
纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

2

，得到函数y=sin（2x+

π

6

）的图象，
横坐标不变，纵坐标伸长原来的4倍，得到函数y=4