Question

大学考研高数，这两个二重积分被积函数不同，积分区域相同，积分出的结果却相同，不太理解积出来的结果为

大学考研高数，这两个二重积分被积函数不同，积分区域相同，积分出的结果却相同，不太理解积出来的结果为什么会相同，高手给我解答下这是什么原因，谢谢，给高分

Answer 1

考虑上一个积分。坐标平移，使正方形中心成为原点。则积分等于
∫∫(x1+y1+1)dx1dy1
根据对称性，
∫∫(x1+y1)dx1dy1=0
因此，
结果是
∫∫dx1dy1
再将坐标系平移回原位置，即得到后一个积分

追问

积分函数不同，积分区域相同，一直以为结果应该是不同的，那也就是说这种情况下积分结果也可能相同，还有一种情况积分函数相同，积分区域不同，积分结果也有可能相同，我这样说应该是没有问题的吧

追答

有这个可能

Answer 2

从积分的定义来理解，被积函数与积分区域Dxy围成的体积。被积函数如果=1，积分结果=Dxy的面积；被积函数如果=x+y,根据积分中值定理，应该等于Dxy的面积乘以x+y在积分区域上的平均值，看图，被积函数x+y关于x+y=1是对称的，又是线性的，平均值就是1.所以二者积分结果一样。
从定义和对称性来理解。

追问

不是很好理解，十分感谢

Answer 3

二者的结果相同，几何意义不同。