Question

已知f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证

已知f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1）（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）讨论函数f（x）的单调性，并加以证明；（3）当x∈[1，2]时函数f（x）的最大值为32，求此时a的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），x∈R，
∴任取x∈R，都有f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x），
∴函数f（x）是R上的奇函数；
（2）a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；
证明如下：∵f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），x∈R，
∴f′（x）=a^xlna-a^-xlna?（-1）=

a2x+1

ax

?lna；
当a＞1时，a^x＞0，lna＞0，a^2x＞0，∴a^2x+1＞0，∴f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当0＜a＜1时，a^x＞0，lna＜0，a^2x＞0，∴a^2x+1＞0，∴f′（x）＜0，f（x）是减函数；
综上，a＞1时，f（x）是增函数；0＜a＜1时，f（x）是减函数；
（3）当x∈[1，2]时函数f（x）的最大值为

3

2

，若a＞1，则f（x）是增函数，∴f（2）=a²-a^-2=

3

2

，解得a=

2

；
0＜a＜1时，f（x）是减函数，∴f（1）=a-a^-1=

3

2

，解得a=2或a=-

1

2

，不满足条件，舍去；
综上，a的值为

2

．