Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC为F，（1）求

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC为F，（1）求证：BE=CF；（2）若AE=4，FC=3，求EF的长．

Answer 1

（1）连接BD．

∵D是AC中点，
∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC
∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，
∴∠EDB=∠CDF，
在△BED和△CFD中，

∠EBD＝∠C BD＝CD ∠EDB＝∠CDF

，
∴△BED≌△CFD（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵AB=CD，BE=CF=3，
∴AE=BF=4
在RT△BEF中，EF=

BE2+BF2

=5．

Answer 2

(1)连接BD
∵D是AC中点,∠ABC=90°,∴BD=CD
∵AB=BC,∴∠DBE=∠C=45°
∵∠BDE+∠BDF=∠EDF=90°,∠BDF+∠CDF=∠BDC=90°
∴∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF(ASA)
∴BE=CF
(2)∵AE=AB-BE,BF=BC-CF,∴AE=BF=4
BE=CF=3,勾股定理得EF=5

Answer 3

第一问连接BD，证明三角形BED与三角形CFD全等（角边角）
第二问BE=CF=3,BF=AF=4,∴EF=5（勾股定理）