Question

已知函数f(n)=sinnπ／4，∈Z.求证(1).f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16) (2).求f（1）+f(2)+.+2010

Answer 1

1.易得f(n+8)=f(n),即sin(n兀/4+2n兀)=sin(n兀/4),得证2.f(1)+f(2)+……+f(8)=0,所以f(1)+……+f(2010)=f(1)+f(2)=根号2/2+1

Answer 2

这个问题关键在于函数f(n)是个周期函数，且周期是8；
这明显有f(n+8)=f(n);
第二问可以利用第一问的结论来求
求出f(1)+f(2)+…+f(8)=M；
2010=8*251+2；
所以就有
f（1）+f(2)+...+f(2010)=251*M+f(1)+f(2)
此题关键在于利用了周期性
至于M，f(1)+f(2)自己是可以求的，在这儿我就不麻烦了

Answer 3

f(1)=sinπ/4 f(9)=sin9π/4=sinπ/4 所以f(1)=f(9)

同理f(2）=f(10) …

所以f(1)+f(2)+…+f(8)=f(9)+f(10)+…+f(16)

由1知，函数的周期是8

f(1)+f(2)+…+f(8)=sinπ/4+sin2π/4+sin3π/4+sin4π/4+sin5π/4+sin6π/4+sin7π/4+sin8π/4=0

f(1)+f(2)+…+f(7)=sinπ/4+sin2π/4+sin3π/4+sin4π/4+sin5π/4+sin6π/4+sin7π/4=0

f(1)+f(2)+…+f(2007)=

250x[f(1)+f(2)+…+f(8)]+sinπ/4+sin2π/4+sin3π/4+sin4π/4+sin5π/4+sin6π/4+sin7π/4

=250x0+0=0

Answer 4

有f(n+8)=f(n);
第二问可以利用第一问的结论来求
求出f(1)+f(2)+…+f(8)=M；
2010=8*251+2；
所以就有
f（1）+f(2)+...+f(2010)=251*M+f(1)+f(2)