Question

设函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0

设函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，且在x=2处取得极值.(I)求a,b,c,的值;(II)求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值

Answer 1

答：
(1).
函数定义域为R，由f(x)为奇函数得c=0,f(x)ax^3+bx
f'(x)=3ax^2+b,f'(1)=3a+b
又x-6y-7=0即为y=x/6-7/6,斜率为1/6，所以(3a+b)/6=-1,即3a+b=-6
因为f(2)为极值，所以f'(2)=12a+b=0
解方程组得：a=2/3,b=-8
所以a=2/3,b=-8,c=0，即f(x)=2/3x^3-8x
(2).
f(x)=2/3x^3-8x，f'(x)=2x^2-8
当x>2时或x<2时，f'(x)>0,f(x)递增，所以(2,f(2))为函数的极小值点，也是最小值点。
所以f(x)在[-1,2]上递减，在(2,3]上递增。
f(2)=-32/3,f(-1)=22/3,f(3)=-6
所以f(x)在[-1,3]上的最大值为f(-1)=22/3,最小值为f(-2)=-32/3.