Question

在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，若∠A=90°，求∠B的度数；（2）设∠BAC=α，点D是BC上一动点（不与B、C

在△ABC中，AB=AC．（1）如图1，若∠A=90°，求∠B的度数；（2）设∠BAC=α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE=β，如图2所示．①当点D在线段BC上运动时，试找出α与β之间的关系，并说明理由；②当点D在线段BC的反向延长线上运动时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请加以说明；若不成立，试找出α与β之间的新关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠A=90°， ∴∠B=45°（2分）； （2）①∵∠BAC=∠DAE=α， ∴∠BAD=∠CAE． 又AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE．（3分） ∴∠B=∠ACE． ∴∠B+∠ACB=β． ∴α+β=180°；（4分） ②当点D在线段BC的反向延长线上运动时，①中的结论不能成立，此时：α=β成立．其理由如下： 类似（2）可证△DAB≌△ECA，（5分） ∴∠DBA=∠ECA． 又由三角形外角性质有∠DBA=α+∠DCA， 而∠ACE=β+∠DCA， ∴α=β．（6分）