Question

已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ π 6 )-1 ．（1）求f（x）的最小正周期：（2）已知 p：θ＞ π

已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ π 6 )-1 ．（1）求f（x）的最小正周期：（2）已知 p：θ＞ π 4 ，q：函数g(x)=(θ+1 ) x 在R上为增函数，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求f（θ）的值域．

Answer 1

（Ⅰ）因为 f(x)=4cosxsin(x+ π 6 )-1 =4cosx（ 3 2 sinx+ 1 2 cosx ）-1 = 2 3 sinxcosx+2co s 2 x-1 = 3 sin2x+cos2x =2sin（2x+ π 6 ）…（4分） 所以f（x）的最小正周期为π…（6分） （Ⅱ）由题意可得q：θ+1＞1 即q：θ＞0 由p∧q为假命题，p∨q为真命题，得P和q为一真一假命题…（8分） （1）p为真命题，q为假命题 θ＞ π 4 θ≤0 ，此时θ不存在 （2）p为假命题，q为真命题 θ≤ π 4 θ＞0 即 0＜θ≤ π 4 ，…（11分） 则 π 6 ＜2θ+ π 6 ≤ 2π 3 于是，当 2θ+ π 6 = π 2 即 θ= π 6 ，f（x）有最大值2 当2 θ+ π 6 = π 6 ，即θ=0时，f（θ）有最小值1 所以f（θ）的值域为：（1，2]…（14分）