Question

已知函数f(x)＝ax+2x+b，a，b∈R，若函数f（x）图象经点（0，2），且图象关于点（-1，1）成中心对称．（1

已知函数f(x)＝ax+2x+b，a，b∈R，若函数f（x）图象经点（0，2），且图象关于点（-1，1）成中心对称．（1）求实数a，b的值；（2）若数列{an}满足：a1＝2，an+1＝2f(an)?1(n≥1，n∈N*)，求数列{an}的通项公式；（3）数列{bn}满足：bn=n（an+2），数列{bn}的前项的和为Sn，若Sn(n?1)?2n≤m，（n≥2）恒成立，求实数m的最小值．

Answer 1

（1）因为函数f（x）图象经点（0，2），
∴f（0）=2?

2

b

=2?b=1；…2分
∵图象关于点（-1，1）成中心对称
∴f（0）+f（-2）=2，
∴f（-2）=0?

?2a+2

?2+1

=0?a=1；
∴f（x）=

x+2

x+1

．…..4分
（2）∵a_n+1=

2

an+2 an+1 ?1

=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2）
∴{a_n+2}为等比数列?a_n+2=（a₁+2）?2^n-1
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2；…8分
（3）∵b_n=n（a_n+2）=n?2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n?2ⁿ⁺¹；
2S_n=2³+2×2⁴+3×2⁵+…+（n-1）?2ⁿ⁺¹+n?2ⁿ⁺²；
-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n?2ⁿ⁺²=

22(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ⁺²=（1-n）2ⁿ⁺²-4；
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺²+4
∴

sn

(n?1)?2n

=4+

4

(n?1)?2n

≤5；
∴m的最小值为5…..13分．