Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝?34x+9与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝?14x2+bx+

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y＝?34x+9与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y＝?14x2+bx+c经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为t（0＜t＜5）秒．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由．（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒3105个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同．①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？②是否存在△NCQ为直角三角形的情形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在y=-

3

4

x+9
中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12．
∴C（0，9），B（12，0）．
又抛物线经过B，C两点，∴

c＝9 ?36+12b+c＝0

，解得

b＝ 9 4 c＝9

∴y=-

1

4

x²+

9

4

x+9．
于是令y=0，得-

1

4

x²+

9

4

x+9=0，
解得x₁=-3，x₂=12．∴A（-3，0）．

（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切．连接OM．
∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°．∴∠OMB=90°．
∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线．
而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO．∴∠POM=∠PMO．
又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM．∴PM=PB．
∴PO=PB=

1

2

OB=6．∴PA=OA+PO=3+6=9．此时t=3（秒）．
∴当t=3秒，PM与⊙O′相切．

（3）①过点Q作QD⊥OB于点D．

∵OC⊥OB，∴QD∥OC．∴△BQD∽△BCO．∴

QD

OC

=

BQ

BC

．
又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴

QD

9

=

3t

15

，解得QD=

9

5

t．
∴S_△BPQ=

1

2

BP?QD=